Równania różniczkowe II

2021Z

Kod przedmiotu20S2O-RRII
Punkty ECTS 4
Typ zajęć Ćwiczenia
Wykład
Przedmioty wprowadzające
Wymagania wstępne
Opis ćwiczeń
Opis wykładów. Pojęcia podstawowe teorii równań różniczkowych: Pochodne, pochodne cząstkowe, równania różniczkowe, RóRó zwyczajne i cząstkowe, rząd RóRó, rozwiązania klasyczne równań różniczkowych. 2. Równania różniczkowe cząstkowe rzędu 1: Klasyfikacja (RóRóCz 1-go rzędu liniowe, quisi-liniowe i całkowicie nieliniowe). RóRó liniowe i pola wektorowe. Krzywe charakterystyczne. Całki pierwsze i rozwiązanie ogólne RóRóCz liniowego 1-go rzędu. Hiperpowierzchnie transwersalne do pola wektorowego i zagadnienie o wartościach początkowych dla RóRóCz liniowego 1-go rzędu. RóRóCz 1-go rzędu quasi-liniowe i ich sprowadzenie do równań liniowych. Ogólne RóRóCz 1-go rzędu. 3. Teoria RóRóCz liniowych 2-go rzędu: Ogólna klasyfikacja i najgłówniejsze typy specjalne (eliptyczne, hiperboliczne, paraboliczne). Charakterystyki i postać kanoniczna RóRóCz semi-liniowego 2-go rzędu o dwóch zmiennych niezależnych. 4. Operator Laplace'a i RóRóCz 2-go rzędu eliptyczne: Obszary z gładkim brzegiem i warunki brzegowe funkcji. Warunki brzegowe Dirichleta i Neumanna. Funkcje harmoniczne, subharmoniczne i superharmoniczne. Własność wartości średniej. Zasada maksimum i minimum. Rozwiązanie podstawowe równania Laplace’a. Funkcja Greena, zagadnienie Dirichleta. Twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona w obszarze ograniczonym. Funkcja Greena dla kuli i całka Poissona. Istnienie rozwiązania zagadnienia Dirichleta w kuli. Funkcja Greena dla półprzestrzeni i wzór Poissona. Regularność funkcji harmonicznych. Lokalne oszacowania funkcji harmonicznych. 4a. Funkcje holomorficzne i harmoniczne. Zasada maksimum dla funkcji holomorficznych. Stosowanie funkcji holomorficznych w teorii RóRó eliptycznych na płaszczyźnie. 5. Teoria RóRóCz hiperbolicznych i parabolicznych: Przykłady RóRóCz hiperbolicznych i parabolicznych: równanie falowe (równanie ruchu fali), równanie dyfuzji i przewodnictwa cieplnego. Równanie Schrödingera. Metoda d'Alemberta rozwiązania równania falowego na prostej i półprostej. Warunki brzegowe Dirichleta i Neumanna w zagadnieniu d'Alemberta oraz odbicie fal. Wartości początkowe i brzegowe. Zagadnienie początkowo-brzegowe dla RóRóCz hiperbolicznych i parabolicznych. 5a. Metoda Fouriera (metoda rozdzielenia zmiennych) dla RóRóCz hiperbolicznych i parabolicznych: Rozkład funkcji w obszarze na funkcje własne operatora eliptycznego samosprężonego. Szeregi Fouriera jako przykład rozkładu na funkcje własne. Rozwiązanie zagadnień początkowo-brzegowych dla RóRóCz hiperbolicznych i parabolicznych metodą Fouriera. 6. Funkcje uogólnione (dystrybucje) i działania z nimi. Słabe pochodne. 7. Podstawy analizy funkcyjnej: Przestrzeni Banacha i Hilberta. Bazy Hilberta oraz układy wektorów prostopadłych. Rozkład wektora względem bazy Hilberta. Operatory ograniczone i zwarte. Operatory sprężone i samosprężone. Widmo operatora samosprężonego zwartego. Widmo operatora eliptycznego samosprężonego. ,ĆWICZENIA:1. Przekształcenia współrzędnych we wzorach różniczkowych o pochodnych cząstkowych. Formy różniczkowe. Operator Laplace'a we współrzędnych biegunowych, cylindrycznych i sferycznych. 2. Rozwiązanie RóRóCz pierwszego rzędu liniowych i quasi-liniowych. 3. Znalezienie postaci kanonicznej RóRóCz liniowego 2-go rzędu o dwóch zmiennych niezależnych. 4. Rozwiązanie równania falowego na prostej i półprostej metodą d'Alemberta. 5. Znalezienie wartości i funkcji własnych operatora Laplace'a w przedziale z warunkami brzegowymi i okresowymi. Rozkład podanej funkcji w obszarze na funkcje własne operatora eliptycznego samosprężonego. 6. Rozwiązanie zagadnień początkowo-brzegowych dla RóRóCz hiperbolicznych i parabolicznych metodą Fouriera. 7. Działania z funkcjami uogólnionymi (dystrybucjami). Liczenie słabych pochodnych.
Cel kształcenia
Literatura podstawowa1) Borsuk, Wykłady z równań różniczkowych i całkowych, UWM, 2000 2) Evans Lawrence C., Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2012 3) Filippow A., Zbiór zadań z równań różniczkowych, Moskwa, 2004 4) Kącki E., Równania różniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki i techniki, PWN, 1995 5) Niedoba J., Niedoba W., Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe, AGH, 2001 6) Palczewski A., Równania różniczkowe zwyczajne, WNT, 2004
Literatura uzupełniająca
Uwagi