Algebra II

2021L

Kod przedmiotu20S2O-AII
Punkty ECTS
Typ zajęć Ćwiczenia
Wykład
Przedmioty wprowadzające
Wymagania wstępne
Opis ćwiczeń
Opis wykładówrzypomnienie i uzupełnienie treści dotyczących pierścieni, ideałów, rozszerzeń ciał, wielomianów, automorfizmów. Ciała liczbowe i nieliczbowe. Rozszerzenia algebraiczne i przestępne. Element pierwotny rozszerzenia. Grupa Galois rozszerzenia. Rozszerzenia Galois, przykłady. Twierdzenia Galois (ustalające odpowiedniości między ciałami i podgrupami grupy Galois. Rozszerzenia normalne, ich związek z rozszerzeniami Galois. Rozwiązywanie równań, rozszerzenia pierwiastnikowe. Zastosowanie grupy rozwiązalnej w teorii Galois. Równania nierozwiązalne przez pierwiastniki. Uzupełnienie wiadomości o konstrukcjach geometrycznych, twierdzenie Gaussa o konstruowalności n-kąta foremnego. Konstrukcja ciała kwaternionów (jako rozszerzenia stopnia 4 ciała liczb rzeczywistych oraz jako rozszerzenia stopnia 2 ciała liczb zespolonych). Twierdzenie Frobeniusa. Twierdzenie Wedderburna o przemienności ciał skończonych. Ogólna konstrukcja ciała nieprzemiennego.,ĆWICZENIA:Rozwiązywanie zadań powtórzeniowych dotyczących podstawowych własności ciał, pierścieni, wielomianów (np. wyznaczanie izomorfizmów, generatorów, podciał, ideałów maksymalnych, wielomianów minimalnych dla elementów algebraicznych). Szukanie elementów pierwotnych dla rozszerzeń. Wyszukiwanie automorfizmów poszczególnych ciał. Wyznaczanie grupy Galois dla danych rozszerzeń, dla ciała rozkładu wielomianu. Sprawdzanie czy dane rozszerzenie jest typu Galois. Wyznaczanie ciała elementów stałych względem grupy automorfizmów. Ilustracja twierdzeń Galois na przykładzie danych rozszerzeń. Wykazywanie rozwiązywalności grupy Galois ciał rozkładu nad Q danych wielomianów. Przykłady grup nierozwiązalnych. Rozwiązywanie równań stopnia II, III i IV. Przykłady równań nierozwiązalnych przez pierwiastniki. Rozwiązywanie zadań konstrukcyjnych. Analiza ciała uogólnionych kwaternionów. Wyznaczanie pierwiastków wielomianu w ciele kwaternionów. Rozwiązywanie zadań z zastosowaniem twierdzenia Frobeniusa.
Cel kształcenia
Literatura podstawowa
Literatura uzupełniająca
Uwagi