Algebra II

2018L

Kod przedmiotu2320S2-AII
Punkty ECTS 4
Typ zajęć Wykład
Ćwiczenia
Przedmioty wprowadzająceAlgebra liniowa 1, Algebra liniowa 2, Algebra1, Algebra 2, Elementy logiki i teorii mnogości
Wymagania wstępneOgólna wiedza z zakresu grup, pierścieni, ideałów, ciał, reguł logicznych
Opis ćwiczeńRozwiązywanie zadań powtórzeniowych dotyczących podstawowych własności ciał, pierścieni, wielomianów (np. wyznaczanie izomorfizmów, generatorów, podciał, ideałów maksymalnych, wielomianów minimalnych dla elementów algebraicznych). Szukanie elementów pierwotnych dla rozszerzeń. Wyszukiwanie automorfizmów poszczególnych ciał. Wyznaczanie grupy Galois dla danych rozszerzeń, dla ciała rozkładu wielomianu. Sprawdzanie czy dane rozszerzenie jest typu Galois. Wyznaczanie ciała elementów stałych względem grupy automorfizmów. Ilustracja twierdzeń Galois na przykładzie danych rozszerzeń. Wykazywanie rozwiązywalności grupy Galois ciał rozkładu nad Q danych wielomianów. Przykłady grup nierozwiązalnych. Rozwiązywanie równań stopnia II, III i IV. Przykłady równań nierozwiązalnych przez pierwiastniki. Rozwiązywanie zadań konstrukcyjnych. Analiza ciała uogólnionych kwaternionów. Wyznaczanie pierwiastków wielomianu w ciele kwaternionów. Rozwiązywanie zadań z zastosowaniem twierdzenia Frobeniusa.
Opis wykładówPrzypomnienie i uzupełnienie treści dotyczących pierścieni, ideałów, rozszerzeń ciał, wielomianów, automorfizmów. Ciała liczbowe i nieliczbowe. Rozszerzenia algebraiczne i przestępne. Element pierwotny rozszerzenia. Grupa Galois rozszerzenia. Rozszerzenia Galois, przykłady. Twierdzenia Galois (ustalające odpowiedniości między ciałami i podgrupami grupy Galois. Rozszerzenia normalne, ich związek z rozszerzeniami Galois. Rozwiązywanie równań, rozszerzenia pierwiastnikowe. Zastosowanie grupy rozwiązalnej w teorii Galois. Równania nierozwiązalne przez pierwiastniki. Uzupełnienie wiadomości o konstrukcjach geometrycznych, twierdzenie Gaussa o konstruowalności n-kąta foremnego. Konstrukcja ciała kwaternionów (jako rozszerzenia stopnia 4 ciała liczb rzeczywistych oraz jako rozszerzenia stopnia 2 ciała liczb zespolonych). Twierdzenie Frobeniusa. Twierdzenie Wedderburna o przemienności ciał skończonych. Ogólna konstrukcja ciała nieprzemiennego.
Cel kształceniaUkształtowanie abstrakcyjnego myślenia. Zapoznanie z teorią Galois i wybranymi strukturami algebraicznymi, np. nieprzemiennym ciałem kwatrnionów.
Literatura podstawowa1) Browkin Jerzy, Wybrane zagadnienia algebry , PWN Warszawa, 1968 2) Bryński Maciej, Elementy teorii Galois, Alfa Warszawa, 1985 3) Białynicki-Birula Andrzej, Algebra, PWN Warszawa, 1971
Literatura uzupełniająca
Uwagi