Analiza matematyczna II

2018Z

Kod przedmiotu2320S2-AMII
Punkty ECTS 6
Typ zajęć Wykład
Ćwiczenia
Przedmioty wprowadzająceAnaliza matematyczna I
Wymagania wstępneElemanty teorii mnogości, ciągi i szeregi liczbowe, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych.
Opis ćwiczeńPowtórzenie i uzupełnienie wiadomości z teorii miary i całki Lebesque'a (miara zero i objętość zero, funkcje całkowalne, twierdzenie Fubiniego, zamiana zmiennych). Teoria tensorów (wyznaczanie współrzędnych tensorów, sprawdzanie czy dany tensor jest antysymetryczny, liczenie iloczynów tensorowych). Teoria form różniczkowych. Badanie kohomologi de Rhama. Sprawdzanie czy dane pole jest potencjalne/bezwirowe. Stosowanie twierdzenia Stokes'a po łańcuchach. Sprawdzanie czy dana przestrzeń jest rozmaitością. Stosowanie Twierdzenia Greena, Gausa, Stokes'a.
Opis wykładówTeoria tensorów (definicja tensora, definicja iloczynu tensorowego, definicja iloczynu zewnętrznego tensorów antysymetrycznych, operacja cofania tensorów). Pola wektorowe. Przestrzeń styczna. Formy różniczkowe. Różniczka zewnętrzna. Lemat Poincare'go. Zbiór gwieździsty. Kohomologie de Rhama z zastosowaniami. Pojęcie łańcucha. Twierdzenie Stokes'a po łańcuchach. Pojęcie rozmaitości. Przestrzeń styczna do rozmaitości. Formy różniczkowe na rozmaitości. Definicja całki na rozmaitościach. Klasyczne twierdzenia: Greena, Gausa i Stokes'a.
Cel kształceniaZapoznanie studentów z ogólną teorią analizy na rozmaitościach.
Literatura podstawowa1) K. Maurin , Analiza cz.2, PWN, 2010 2) M. Flanders, Teoria form różniczkowych, PWN, 1969 3) Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, 2005
Literatura uzupełniająca1) R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu, Manifolds, Tensor Analysis and Applications, Springer, 1988 2) S. Tymowski, Kurs analizy matematycznej, WSP, 1997
Uwagibrak