Analiza zespolona

2018Z

Kod przedmiotu2320S2-AZ
Punkty ECTS 4
Typ zajęć Ćwiczenia
Wykład
Przedmioty wprowadzająceAnaliza matematyczna I, Analiza matematyczna II, Algebra ogólna
Wymagania wstępneZnajomość analizy matematycznej i podstaw algebry ogólnej
Opis ćwiczeńDziałania na liczb zespolonych. Postać trygonometryczna, pierwiastkowanie zespolone. Granice ciągów. Badanie zbieżności szeregów liczbowych. Wyznaczanie promieni i kół zbieżności szeregów potęgowych. Podstawowe własności funkcji wykładniczej i trygonometrycznych. Obliczanie logarytmów i potęg zespolonych. Badanie różniczkowalności funkcji zespolonych. Obliczanie całek zwyczajnych. Obliczanie całek krzywoliniowych. Zastosowanie twierdzenia całkowego i wzoru całkowego Cauchy'ego do obliczania całek zespolonych. Badanie punktów osobliwych izolowanych. Rozwijanie funkcji analitycznych w szereg Taylora i Laurenta. Wyznaczanie residuów. Obliczanie całek zespolonych metodą residuów. Obliczanie całek rzeczywistych za pomocą residuów.
Opis wykładówArytmetyka liczb zespolonych. Postać trygonometryczna, pierwiastki zespolone. Rzut stereograficzny, sfera Riemanna. Ciągi i szeregi liczbowe zespolone. Szeregi potęgowe. Twierdzenie Cauchy-Hadamarda. Funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne. Wzory Eulera. Logarytm i potęga zespolona. Gałąź logarytmu i potęgi zespolonej. Pochodna zespolona, równania Cauchy-Riemanna. Funkcje analityczne. Całka zwyczajna. Całka krzywoliniowa zorientowana i niezorientowana funkcji zmiennej zespolonej. Funkcja pierwotna. Indeks punktu względem krzywej. Twierdzenie całkowe i wzór całkowy Cauchy'ego dla obszarów wypukłych. Rozwijanie funkcji analitycznej w szereg potęgowy. Miejsca zerowe funkcji analitycznej. Funkcje całkowite. Twierdzenie Liouville'a i Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Szereg Laurenta. Punkty osobliwe izolowane funkcji analitycznej. Punkt osobliwy izolowany w nieskończoności. Funkcje meromorficzne. Residuum. Twierdzenie o residuach. Obliczanie całek metodą residuów.
Cel kształceniaZapoznanie studentów z podstawową wiedzą z analizy zespolonej, w szczególności z teorią funkcji analitycznych jednej zmiennej zespolonej. Wyrobienie u studentów umiejętności rachunkowych i dowodowych w wykładanym przedmiocie
Literatura podstawowa1) F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, 2006r., s. 1-158 2) B.W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, 1974, s. 1-254 3) W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, 1988, s. 212-335
Literatura uzupełniająca
Uwagi