Mathematical analysis 3

2020Z

Kod przedmiotu2320S1-MATAN3
Punkty ECTS 8
Typ zajęć Ćwiczenia laboratoryjne
Ćwiczenia
Wykład
Przedmioty wprowadzająceAnaliza matematyczna 1, Analiza matematyczna 2, Algebra liniowa
Wymagania wstępneZnajomość rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej, podstaw algebry liniowej
Opis ćwiczeńRozwiązywanie zadań uwzględniających treści realizowane w ramach wykładu: Różniczkowanie funkcji uwikłanych. Obliczanie całki podwójnej. Obliczanie całki potrójnej. Obliczanie całek krzywoliniowych pierwszego rodzaju i drugiego rodzaju. Zastosowanie wzoru Greena. Obliczanie całek powierzchniowych pierwszego i drugiego rodzaju. Zastosowanie wzoru Stokesa. Zastosowanie wzoru Gaussa-Ostrogradskiego. Ilustracja zadaniami podstawowych pojęć z zakresu teorii miary. Ilustracja konstrukcji całki względem miary. Badanie całkowalności funkcji względem miary.
Opis wykładówA. Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych: Funkcje uwikłane i ich różniczkowanie. Całka podwójna. Całka podwójna a całka iterowana. Obliczanie całki podwójnej. Całka potrójna. Całka potrójna a całka iterowana. Obliczanie całki potrójnej. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju i drugiego rodzaju. Wzór Greena. Całki powierzchniowe pierwszego i drugiego rodzaju. Wzór Stokesa. Wzór Gaussa-Ostrogradskiego. B. Ogólna teoria miary i całki: 1. Ogólna teoria całki: mierzalność. Rodzina zbiorów borelowskich. Miara. Całkowanie funkcji mierzalnych. Twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności. Lemat Fatou. Uzupełnianie miary. 2. Miary borelowskie: Twierdzenia Riesza o reprezentacji. Regularność miar borelowskich. Miara Lebesgue'a. Twierdzenie Łuzina. Twierdzenie Vitaliego-Carathéodory'ego. 3. Miary zespolone: Wariacja miary. Absolutna ciągłość miary. Rozkład Lebesgue'a. Twierdzenie Radona-Nikodyma. Pochodna Radona-Nikodyma. Rozkład Hahna. Twierdzenia Riesza o reprezentacji. 4. Twierdzenie Fubiniego: Produkt kartezjański. Miara produktowa. Twierdzenie Fubiniego. Uzupełnianie miary produktowej. Sploty. 5. Różniczkowanie: Pochodna miar. Funkcje zmiennej rzeczywistej: funkcje absolutnie ciągłe i funkcje ciągłe o wahaniu ograniczonym.
Cel kształceniaZapoznanie studenta z podstawowymi narzędziami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych oraz ogólną teorią miary i całki.
Literatura podstawowa1) Fichtenholz G.M., "Rachunek różniczkowy i całkowy", t. II, wyd. WNT, 2017 2) Fichtenholz G.M., "Rachunek różniczkowy i całkowy", t. III, wyd. WNT, 2017 3) Rudin W., "Podstawy analizy matematycznej", wyd. PWN, 2012 4) Rudin W., "Analiza rzeczywista i zespolona", wyd. PWN, 2009 5) Sikorski R., "Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje wielu zmiennych", wyd. PWN, 1980 6) Leja F., "Rachunek różniczkowy i całkowy ...", wyd. PWN, 2008 7) Kołodziej W., "Analiza matematyczna", wyd. PWN, 2017 8) Musielak H, Musielak J., "Analiza matematyczna", t. I, wyd. WN UAM, 2002 9) Banaś J. Wędrychowicz S., "Zbiór zadań z analizy matematycznej", wyd. WNT, 2017 10) Krysicki W., Włodarski L., "Analiza matematyczna w zadaniach", t. II, wyd. PWN, 2004
Literatura uzupełniająca1) Kaczor W.J., Nowak M.T., wyd. Wydawnictwo Naukowe PWN, "Zadania z analizy matematycznej", 2017r., tom III, 312s. 2) Gewert M., Skoczylas Z., wyd. Oficyna Wydawnicza GiS, "Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania", 2016r., tom , 188s. 3) Birkholc A., wyd. Wydawnictwo Naukowe PWN, "Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych", 2016r., tom , 548s. 4) Gewert M., Skoczylas Z., wyd. Oficyna Wydawnicza GiS, "Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory", 2012r., tom , 180s. 5) Rudnicki R., wyd. Wydawnictwo Naukowe PWN, "Wykłady z analizy matematycznej", 2017r., tom , 538s.
Uwagi