Matematyka

2020Z

Kod przedmiotu86S1-MAT
Punkty ECTS 4,5
Typ zajęć Ćwiczenia
Wykład
Przedmioty wprowadzająceBrak
Wymagania wstępneWiadomości ze szkoły średniej
Opis ćwiczeńRozwiązywanie zadań sprawdzających własności liczb rzeczywistych. Zapisywanie zdań w języku logiki (z użyciem spójników logicznych i kwantyfikatorów). Wykonywanie działań na zbiorach, również w układzie kartezjańskim. Wzór dwumienny Newtona i trójkąt Pascala. Badanie własności wybranych funkcji. Wyznaczanie funkcji odwrotnej do danej. Wyznaczanie wzoru funkcji złożonej. Rozwiązywanie zadań z zastosowaniem własności funkcji liniowej, potęgowej, wykładniczej, logarytmicznej, trygonometrycznych i cyklometrycznych. Badanie tych własności, rysowanie wykresów. Wyznaczanie granic ciągów, również z zastosowaniem liczby e i z zastosowaniem twierdzenia o trzech ciągach. Przykłady szeregów liczbowych, badanie zbieżności metodami elementarnymi i za pomocą kryteriów. 6. Obliczanie granic funkcji. Przykłady funkcji ciągłych i nieciągłych. Badanie ciągłości funkcji określonej różnymi wzorami dla danych przedziałów. Przykłady obliczania pochodnej funkcji z definicji. Obliczanie pochodnych ze wzoru. Rozwiązywanie zadań z zastosowaniem twierdzeń o wartości średniej. Rozwijanie danych funkcji w szereg Taylora, przybliżanie wartości funkcji za pomocą tego szeregu, obliczanie granicy z zastosowaniem reguły de l’Hospitala. Stosowanie granic jednostronnych do wyznaczania asymptot. Badanie przebiegu zmienności funkcji..Obliczanie całek nieoznaczonych różnymi metodami, np.: z definicji funkcji pierwotnej, metoda podstawiania, przez części, stosując podstawienia Eulera. Interpretacja całki oznaczonej. Obliczanie pól obszarów płaskich, długości łuku krzywej, pola powierzchni i objętości bryły obrotowej. Przykłady funkcji dwóch i trzech zmiennych, rysowanie wykresów. Wyznaczanie ich granic i badanie ciągłości. Obliczanie pochodnych cząstkowych dla funkcji dwóch i trzech zmiennych, wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych. Badanie wzajemnego położenia prostych i płaszczyzn w przestrzeni R3. Obliczanie wartości iloczynu skalarnego, wektorowego, mieszanego. Wyznaczanie pola równoległoboku, objętości równoległościanu i ostrosłupa o podstawie trójkątnej. Sprawdzanie czy dany zbiór z określonymi działaniami jest przestrzenią liniową. Wyznaczanie podprzestrzeni. Badanie liniowej niezależności wektorów. Wykonywanie działań na macierzach, w tym wyznaczanie macierzy odwrotnej do osobliwe. Obliczanie wyznaczników różnymi metodami. Rozwiązywanie układów liniowych: Cramera – zastosowanie wyznaczników; z zastosowaniem tw. Kroneckera-Capellego o rzędzie macierzy; metodą eliminacji Gaussa; zapisanych w postaci macierzowej. Wyznaczanie wartości własnych macierzy (pierwiastków wielomianu charakterystycznego) i odpowiadających im przestrzeni wektorów własnych
Opis wykładówWiadomości wstępne: zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory, oś liczbowa, spójniki logiczne, kwantyfikatory, działania na zbiorach. Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej i ich własności: dziedzina, wykres, surjekcja, injekcja, monotoniczność, złożenie funkcji, funkcja odwrotna. Przegląd funkcji elementarnych: liniowa, potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczne i cyklometryczne. Ciągi liczb rzeczywistych, zbieżność, granica, liczba e. Klasy ciągów zbieżnych i rozbieżnych do nieskończoności. 5. Szeregi liczbowe. Definicja szeregu i jego zbieżności, szereg geometryczny, szereg harmoniczny. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych (d’Alamberta, Cauchy’ego, porównawcze). Zbieżność bezwzględna, szeregi naprzemienne, kryterium Abela – Leibniza.Granica funkcji w punkcie i ciągłość w przedziale. Własność Darboux. Ciągłość wybranych funkcji: elementarnych oraz w zerze funkcji (sin x)/x, (a^x-1)/x. Granice jednostronne. Pochodna funkcji rzeczywistej jednej zmiennej. Definicja i podstawowe własności, interpretacja geometryczna. Pochodne funkcji elementarnych, trygonometrycznych, cyklometrycznych, logarytmicznych. Twierdzenia o wartości średniej. Pochodne wyższych rzędów. Zastosowania pochodnych: rozwinięcie funkcji w szereg Taylora i jego zastosowania do przybliżeń; reguła de l’Hospitala; ekstrema funkcji, monotoniczność i przebieg zmienności. Całka nieoznaczona, metody całkowania, przykłady, funkcja pierwotna. Całkowanie przez części, przez podstawienie. Całkowanie funkcji wymiernych (rozkład na ułamki proste). Całkowanie funkcji trygonometrycznych i wybranych funkcji niewymiernych, podstawienia Eulera. Całka oznaczona i jej zastosowania: pola figur płaskich, długość łuku krzywej, pola powierzchni i objętości brył obrotowych. Funkcje wielu zmiennych, przykłady, wykresy. Granica i ciągłość. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Elementy geometrii analitycznej. Równanie prostej i płaszczyzny w przestrzeni R3. Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany w R3. Zastosowania. Przestrzeń wektorowa, przykłady, własności. Liniowa niezależność wektorów. Macierze i wyznaczniki. Działania na macierzach. Sposoby obliczania wyznaczników. Układy równań liniowych. Rząd macierzy. Twierdzenie Cramera. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Eliminacja Gaussa. Wartości własne i wektory własne macierzy.
Cel kształceniaPrzedmiot wprowadza elementarne pojęcia z analizy matematycznej, algebry liniowej i geometrii analitycznej konieczne do posługiwania się metodami matematycznymi w chemii.
Literatura podstawowa1) Steiner E., Matematyka dla chemików, PWN Warszawa, 2001 2) Kuratowski K., Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN Warszawa, 1973 3) Gelfand I. M., Wykłady z algebry liniowej, PWN Warszawa, 1971 4) Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach, t. I, II, PWN Warszawa, ? 5) Rutkowski J, Algebra liniowa w zadaniach, Wyd. Nauk. PWN, 2008
Literatura uzupełniająca1) Gewert M., Skoczylas Z>, Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania, Of. Wyd. GiS Wrocław, 2008 2) Gewert M., Skoczylas Z>, Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania, Of. Wyd. GiS Wrocław, 2005
Uwagibrak